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萍乡学院专升本考试《数学分析》考试大纲2021

发布时间:2021/03/11 13:55:00 阅读量:1820

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  2021年萍乡学院专升本数学与应用数学专业的考生可以通过《数学分析》考纲的要求及内容,找到正确的备考思路,熟悉考试与命题的方向,从而更好地应对即将到来的专升本考试。 

萍乡学院专升本考试《数学分析》考试大纲2021

  一、课程名称:数学分析

  二、适应专业:数学与应用数学

  三、考试方式:闭卷

  四、考试时间:120分钟

  五、考试题型及分数:

  1.选择题:共6小题,每题5分,共计30分;

  2.选择题:共6小题,每题5分,共计30分;

  3.计算题:共5小题,每题10分,共计50分;

  4.证明题:共2小题,每题15分,共计30分;

  六、指定教材与建议参考书:

  指定教材:《新编数学分析》(上下册),林元重编著,武汉大学出版社,2015.3;

  建议参考书:《数学分析(第五版)》(上下册),华东师范大学数学数学科学学院编,高等教育出版社,2019.5;

  《数学分析讲义(第六版)》(上下册),刘玉莲、傅沛仁、刘伟、林玎主编,高等教育出版社,2019.4.

  七、考试内容及分数分布

  第一章极限论(约15%)

  1.1引言

  考核内容:1.数学分析是什么.

  2.实数的基本性质和绝对值的不等式,区间与邻域,集合的上下界.

  3.函数的定义与表示法,复合函数与反函数,初等函数.

  4.函数的有界性,单调性,奇偶性和周期性.

  考核要求:1.了解数学分析是什么.

  2.掌握实数的性质(有序性,稠密性,阿基米德性.实数的四则运算),掌握实数的基本概念和最常见的不等式.

  3.掌握函数概念和函数的不同的表示方法.

  4.掌握函数的有界性,单调性,奇偶性和周期性.

  1.2数列极限概念

  考核内容:1.数列极限概念.

  2.数列极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,四则运算法则.

  3.数列极限的夹逼准则和单调有界准则,数集的确界及确界原理,数列的子列及相关定理(包括致密性定理),柯西收敛准则.

  考核要求:1.深刻理解并掌握数列极限概念,学会用数列极限的定义证明极限,学会证明数列极限的基本方法.

  2.掌握数列极限的基本性质,掌握四则运算法则.

  3.掌握夹逼准则,理解数集确界及确界原理,掌握单调有界准则,理解柯西收敛准则.

  1.3函数极限概念及性质

  考核内容:1.函数极限的定义、定义,左右极限.

  2.函数极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,四则运算法则.

  考核要求:1.正确理解和掌握函数极限的定义、定义,掌握极限与左右极限的关系,能够用定义证明和计算函数的极限.

  2.理解并掌握函数极限的基本性质(唯一性,有界性,保号性,保不等式性,四则运算法则),会用这些性质计算函数的极限.

  1.4函数极限存在的准则与两个重要极限

  考核内容:1.函数极限的归结,函数极限的单调有界定理,函数极限的柯西准则.

  2.两个重要极限.

  考核要求:1.理解并掌握函数极限的归结原则,了解函数极限的单调有界定理,理解函数极限的柯西准则.能够写出函数极限的归结原理和柯西准则.

  2.熟练掌握两个重要极限.

  1.5无穷小量与无穷大量

  考核内容:无穷小量与无穷大量,高阶无穷小,同阶无穷小,等价无穷小,无穷大.

  考核要求:掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念.

  1.6连续性概念

  考核内容:1.函数连续,函数左右连续,区间上函数连续的概念.

  2.间断点及其分类.

  考核要求:深刻理解并掌握函数连续性概念.

  1.7连续函数的局部性质与初等函数的连续性

  考核内容:1.连续函数的局部有界性,局部保号性,四则运算.

  2.复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性.

  考核要求:掌握连续函数的局部性质和和初等函数的连续性.

  1.8闭区间上连续函数的性质

  考核内容:1.连续函数的最大最小值定理,介值性定理.

  2.一致连续性概念,一致连续性定理.

  考核要求:1.理解闭区间上连续函数的最大最小值定理,介值性定理.

  2.理解并掌握一致连续性概念,理解一致连续性定理.

  1.9实数的连续性与上(下)极限

  考核内容:1.区间套定理、聚点定理,上(下)极限及其性质.

  2.有限覆盖定理,几个基本定理的等价性.

  考核要求:1.理解区间套定理、聚点定理,了解上(下)极限及其性质.

  2.理解有限覆盖定理,了解几个基本定理的等价性.

  第二章一元函数微分学(约20%)

  2.1导数的概念

  考核内容:1.变化率——导数,单侧导数,导函数,几个基本导数公式,几何意义.

  2.增量——微分公式,可导与连续的关系.

  考核要求:1.理解并掌握导数的定义,掌握导数的几何意义,了解导数的物理意义.

  2.了解增量——微分公式,掌握可导与连续的关系.了解费马定理、达布定理.

  2.2导数的运算法则

  考核内容:1导数的四则运算法则,反函数的求导法则.

  2.复合函数的求导法则,对数求导法,基本导数公式.

  考核要求:1.熟练掌握导数的四则运算法则,理解反函数的求导法则.

  2.熟练掌握复合函数的求导法则及基本导数公式.

  3.知道求分段函数在分段点处的导数.

  2.3参变量函数和隐函数的导数

  考核内容:参变量函数的求导法则,隐函数的求导法,相关变化率.

  考核要求:掌握参变量函数的求导法则,知道求隐函数的导数,会运用求导法则求相关变化率.

  2.4微分

  考核内容:1.微分的概念,微分的运算法则,一阶微分形式的不变性,微分在近似计算中的应用.

  2.利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

  考核要求:1.深刻理解并掌握微分的概念,掌握微分的运算方法,了解微分在近似计算中的应用.

  2.理解微分与导数的关系,会利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

  2.5高阶导数与高阶微分

  考核内容:1.高阶导数及其计算,高阶导数的莱布尼茨公式.

  2.高阶微分及其计算.

  考核要求:1.掌握高阶导数的概念和计算,掌握高阶导数的莱布尼茨公式.

  2.了解高阶微分及其计算,知道高阶导数与高阶微分的关系.

  2.6拉格朗日定理和函数的单调性、极值

  考核内容:1.极值概念与费马定理.

  2.罗尔定理,拉格朗日中值定理,应用中值定理证明不等式和中值公式举例,达布定理,导数极限定理.

  3.函数的单调性与极值,函数的最值,最值应用题举例.

  考核要求:1.掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件、结论及证明方法,会应用中值定理证明一些不等式和一些中值公式,了解达布定理和导数极限定理.

  2.掌握求函数的单调区间和极值及最值的一般方法.

  2.7柯西中值定理和不定式极限

  考核内容:柯西中值定理及其简单应用举例,洛必达法则,不定式极限计算举例.

  考核要求:掌握柯西中值定理,掌握罗比达法则,会求各种形式的不定式极限.

  2.8泰勒公式

  考核内容:1.带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式,几个基本初等函数的麦克劳林公式.

  2.泰勒公式应用举例(不定式极限,高阶导数,函数极值,近似计算).

  考核要求:理解带两种余项形式的泰勒公式,掌握基本初等函数的麦克劳林公式(熟记六个),会利用它们求不定式极限,了解泰勒公式在求高阶导数、函数极值以及近似计算方面的应用.

  2.9其它应用

  考核内容:函数的凸性与拐点,凸性的判定,渐近线,函数作图,方程的近似解.

  考核要求:1.掌握函数凸性与拐点的概念,会求函数凹凸区间与拐点,了解函数凸性在证明不等式方面的应用.

  2.会求曲线的渐近线,了解函数作图的一般步骤,会描绘函数的图像.

  3.了解求方程近似解的牛顿切线法.

  第三章一元函数积分学(约20%)

  3.1不定积分的概念与线性运算

  考核内容:原函数与不定积分的概念,基本积分公式与线性运算法则,不定积分的几何意义.

  考核要求:理解原函数与不定积分的概念,熟练掌握基本积分公式及不定积分的线性运算法则,了解不定积分的几何意义,了解连续分段函数的原函数的求法.

  3.2换元积分法与分部积分法

  考核内容:第一、二换元积分法,分部积分法.

  考核要求:理解并熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法.

  3.3有理函数和三角函数有理式的不定积分

  考核内容:有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,两类无理函数的不定积分.

  考核要求:掌握有理函数不定积分的计算方法,会计算一些三角函数有理式的不定积分,会计算一些简单无理函数的不定积分,了解欧拉变换法.

  3.4定积分的概念与牛顿——莱布尼茨公式

  考核内容:定积分的几何背景和物理背景,定积分的定义(极限形式的定义和定义),牛顿——莱布尼茨公式.

  考核要求:1.深刻理解并掌握定积分的概念,知道定积分概念的定义,了解定积分的几何意义和物理意义.

  2.熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式,会利用牛顿——莱布尼茨公式计算一些特殊的和式极限.

  3.5可积函数类与定积分的性质

  考核内容:1.可积的必要条件,上(下)和与上(下)积分,可积的充要条件(可积准则),可积函数类.

  2.定积分的基本性质,积分第一中值定理.

  考核要求:1.理解函数可积的必要条件,函数可积的充要条件(可积准则),掌握三类可积函数,对这些定理的证明及其证明思路只要求读懂,不作其它较高要求.

  2.理解并掌握定积分的若干基本性质,能证明一些简单的积分不等式.

  3.6微积分学基本定理、定积分的计算(续)

  考核内容:变上(下)限的定积分,微积分学基本定理,换元积分法与分部积分法,积分第二中值定理,泰勒公式的积分型余项,定积分近似计算.

  考核要求:1.掌握微积分学基本定理,会求变上(下)限的定积分的导数.

  2.熟练掌握换元积分法与分部积分法.

  3.理解积分第二中值定理,理解泰勒公式的积分型余项,了解定积分近似计算.

  3.7(3.8)定积分的应用

  考核内容:1.微元法概述.

  2.平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面面积.

  3.功,液体静压力,引力.

  考核要求:1.领会微元法的要领,掌握平面图形面积、由平行截面面积求体积、平面曲线弧长的计算公式,了解曲线的曲率,旋转曲面的面积.

  2.领会定积分在物理应用方面的基本方法.

  3.9无穷积分与瑕积分

  考核内容:1.无穷积分与瑕积分的定义和计算.

  2.无穷积分的基本性质,比较判别法(包括极限形式及特殊形式),绝对收敛与条件收敛,狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.

  3.瑕积分的收敛性判别法.

  考核要求:1.掌握无穷积分与瑕积分的定义和计算.

  2.理解无穷积分的基本性质,掌握非负函数无穷积分的收敛性判别的比较判别法,掌握绝对收敛和条件收敛的概念,理解狄利克雷判别法和阿贝尔判别法(不作其它较高要求).

  3.了解瑕积分与无穷积分的关系,了解瑕积分的收敛性判别法.

  第四章级数论(约15%)

  4.1数项级数的基本概念及性质

  考核内容:数项级收敛与发散的定义和基本性质,等比级数,调和级数,柯西准则.

  考核要求:1.理解数项级数收敛与发散的定义,掌握收敛级数的基本性质,能够根据定义或性质判别一些简单简单级数的敛散性.

  2.掌握等比级数与调和级数.

  3.理解级数收敛的柯西准则,对应用柯西准则判别级数的敛散性不作较高要求.

  4.2正项级数

  考核内容:1.比较判别法,比式判别法,根式判别法.

  2.积分判别法,拉贝判别法.

  考核要求:1.掌握判别正项级数敛散性的基本方法:比较判别法,比式判别法和根式判别.

  2.了解积分判别法和拉贝判别法.

  4.3变号级数

  考核内容:1.交错级数及其莱布尼茨判别法,绝对收敛与条件收敛.

  2.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.

  3.绝对收敛级数的重排,绝对收敛级数的乘积.

  考核要求:1.掌握交错级数的莱布尼茨判别法,掌握绝对收敛与条件收敛概念.

  2.理解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法,对其应用一般不作较高要求.

  3.理解绝对收敛级数的两条重要性质,对其应用不作较高要求.

  4.4函数项级数及其一致收敛性

  考核内容:1.函数列与函数项级数一致收敛性的定义,一致收敛的柯西准则.

  2.一致收敛的另一充要条件,魏尔斯特拉斯判别法.

  3.函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.

  考核要求:1.深刻理解并掌握函数列和函数项级数一致收敛性的定义,理解一致收敛的柯西准则.

  2.掌握一致收敛的另一充要条件(即),掌握判别函数项级数的魏尔斯特拉斯判别法即优级数判别法.

  3.理解判别函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,对其应用不作较高要求.

  4.5一致收敛函数序列与函数项级数的性质

  考核内容:一致收敛函数列与函数项级数的连续性,逐项积分与逐项求导法则.

  考核要求:理解并掌握一致收敛函数列和函数项级数的连续性,逐项积分与逐项求导法则.

  4.6幂级数及其性质

  考核内容:幂级数的收敛半径,收敛半径的计算公式,收敛区间和收敛域的概念.

  考核要求:掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法,掌握幂级数的基本性质和运算法则.

  4.7函数的幂级数展开

  考核内容:泰勒级数,麦克劳林级数,五种基本初等函数的幂级数展开式,初等函数的幂级数展开(直接法和间接法).

  考核要求:掌握泰勒级数和麦克劳林级数,熟记一些初等函数的幂级数展开式,掌握初等函数的幂级数展开.

  4.8傅里叶级数

  考核内容:1.三角级数;正交函数系,傅里叶级数,收敛定理,傅里叶级数的展开式举例.

  2.以为周期的函数的展开式,掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开式,函数的奇延拓与偶延拓及正弦级数与余弦级数.

  3.黎曼引理,收敛定理的证明,贝塞尔不等式,一致收敛性定理.

  考核要求:1.理解三角级数和傅里叶级数定义,掌握傅里叶级数的收敛定理,能够按照收敛定理将比较简单的函数展开成傅里叶级数.

  2.掌握以为周期的函数的展开式,掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开,掌握正弦级数,余弦级数.

  3.了解收敛定理的证明,了解傅里叶级数的一致收敛性.

  第五章多元函数微分学(约15%)

  5.1多元函数与极限(6)

  考核内容:1.二元函数及多元函数,平面中的邻域,开域,闭域.

  2.二元函数重极限定义,二元函数极限存在的充要条件,方向极限与累次极限.

  考核要求:1.理解二元及多元函数的定义.了解平面中邻域,开域,闭域的定义.

  2.理解二元函数重极限的定义,知道二元函数极限存在的充要条件,了解方向极限与累次极限,了解重极限与累次极限的区别与联系.

  5.2二元函数的连续性

  考核内容:1.二元函数的连续性的定义,二元初等函数的连续性.

  2.中的聚点定理,致密性定理,闭区域套定理,有限覆盖定理.

  3.有界闭域上连续函数的最大最小值定理,介值性定理和一致连续性.

  考核要求:1.理解二元函数的连续性的定义,知道二元初等函数的连续性.

  2.了解有关二维空间上的完备性定理,知道有界闭区域上连续函数的整体性质.

  5.3偏导数与全微分

  考核内容:1.多元函数偏导数与高阶偏导数,偏导数的几何意义,混合偏导数与求导顺序无关的条件.

  2.二元函数可微和全微分的定义,微分法则,可微的必要条件,可微的充分条件,高阶全微分及其运算.

  考核要求:1.理解并掌握多元函数偏导数的定义,知道偏导数的几何意义,能够熟练的求出初等函数的偏导数和高阶偏导数,能够求二元函数在一些特殊的导数,知道混合偏导数与求导顺序无关的条件.

  2.理解并掌握二元函数可微和全微分的定义,掌握微分法则,掌握可微的必要条件,理解可微的充分条件,了解高阶全微分及其运算.

  5.4复合函数微分法与方向导数

  考核内容:复合函数链式法则,复合函数的全微分,一阶全微分形式不变性,方向导数与梯度.

  考核要求:理解并熟练掌握复合函数求导的链式法则,掌握方向导数与梯度的定义及其运算,了解二元函数的梯度的几何意义.

  5.5多元函数的泰勒公式

  考核内容:泰勒公式与中值定理,泰勒公式的计算与应用举例.

  考核要求:理解并掌握多元函数的泰勒公式,了解泰勒公式的一个推论——中值定理.

  5.6隐函数及其微分法

  考核内容:1.隐函数存在性定理,隐函数可微性定理.

  2.隐函数组及其可微性定理,反函数组定理.

  考核要求:1.理解隐函数定理和可微性定理,掌握隐函数微分法.

  2.了解隐函数组及其可微性定理,知道求隐函数组的偏导数.

  5.7多元函数偏导数的几何应用

  考核内容:1.空间曲线的切线与法平面方程,曲面的切平面与法线方程.

  2.二元函数全微分的几何意义,、三元函数梯度的几何意义.

  考核要求:1.理解空间曲线(两种表示形式)的切线方程的推导,掌握空间曲线的切线与法平面方程的求法,理解曲面(两种表示形式)的切平面方程的推导,掌握曲面的切平面与法线的求法.

  2.了解二元函数全微分的几何意义,了解三元函数梯度的几何意义.

  5.8多元函数的极值与条件极值

  考核内容:1.二元函数的极值,必要条件与充分条件.

  2.条件极值,拉格朗日乘数法,用条件极值的方法证明不等式.

  考核要求:1.掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件.

  2.了解拉格朗日乘数法,会用拉格朗日乘数法求条件极值.

  第六章多元函数积分学(约15%)

  6.1二重积分

  考核内容:1.二重积分的定义和性质,化二重积分为累次积分的计算公式.

  2.二重积分的变量变换公式,用极坐标计算二重积分.

  考核要求:1.了解平面点集的面积定义及其性质,理解二重积分的定义和性质,理解有界闭区域上的连续函数可积的结论,理解并熟练掌握化二重积分为累次积分的计算公式.

  2.理解二重积分变量变换公式的证明,掌握用极坐标计算二重积分.

  6.2三重积分

  考核内容:1.三重积分的定义,化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

  2.三重积分变量变换公式,柱坐标变换公式,球坐标变换公式.

  考核要求:1.掌握三重积分的定义,了解三重积分的性质,熟练掌握化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

  2.了解三重积分变量变换公式,掌握用球坐标和柱坐标计算三重积分.

  6.3 n重积分和广义重积分

  考核内容:n重积分的定义,计算公式,广义二重积分的性质,收敛性判别.

  考核要求:了解n重积分和广义二重积分的概念和性质,了解广义二重积分的收敛性判别.

  6.4重积分的应用

  考核内容:平面区域的面积,立体的体积,曲面的面积,物体重心,转动惯量,引力.

  考核要求:掌握用重积分计算计算面积和体积,掌握曲面面积的计算公式,了解物体的重心,转动惯量与引力及其计算公式.

  6.5第一型曲线积分

  考核内容:第一型曲线积分的定义,性质和计算公式.

  考核要求:理解并掌握第一型曲线积分的定义,性质和计算公式.

  6.6第二型曲线积分

  考核内容:1.第二型曲线积分的定义,性质,坐标形式和计算公式.

  2.两类曲线积分之间的联系.

  考核要求:1.理解并掌握第二型曲线积分的定义,性质,坐标形式和计算公式.

  2.了解两类曲线积分之间的联系.

  6.7格林公式

  考核内容:格林公式,曲线积分与路线无关的条件.

  考核要求:理解并掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件.

  6.8第一型曲面积分

  考核内容:第一型曲面积分的定义和计算公式.

  考核要求:理解并掌握第一型曲面积分的定义和计算公式.

  6.9第二型曲面积分

  考核内容:有向曲面的概念,第二型曲面积分的定义、性质,两类曲面积分的联系,第二型曲面积分的计算公式.

  考核要求:理解并掌握第二型曲面积分的定义、性质,了解两类曲面积分的联系,掌握第二型曲面积分的计算公式.

  6.10高斯公式与斯托克斯公式

  考核内容:高斯公式,斯托克斯公式,沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件.

  考核要求:理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式.

  6.11含参变量的积分

  考核内容:1.含参变量的定积分的连续性,可微性和可积性定理的证明,定理的应用.

  2.含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质,一致收敛性判别法.

  3.连续性,可微性与可积性定理,定理的应用.

  4.函数与函数的定义、性质及其联系,余元公式.

  考核要求:1.理解并掌握含参变量的定积分的连续性,可微性和可积性定理,掌握计算含参变量的定积分基本方法.

  2.了解含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质,了解一致收敛性判别法(魏尔斯特拉斯判别法,狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.

  3.了解含参变量的广义积分的连续性,可微性与可积性定理,了解含参变量的定积分基本方法.

  4.了解函数与函数的定义、性质及其联系.

  上述为2021年萍乡学院专升本数学与应用数学专业考试大纲的全部内容,日常的备考中,考生要去认真落实,在最后的冲刺备考阶段也可以依据考试大纲进行自我检测,找出自己没有完全掌握的知识点,及时巩固,提升复习效果。

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