2020年绵阳师范学院专升本接收专业《数学与应用数学》考试大纲

本科专业

数学与应用数学

代码

070101

专业课考试要求

专业（一）

课程名

参考教材

涉及章节

高等代数

《高等代数》 第三版

北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编

高等教育出版社

2003年

第1章至第9章

数学分析

《数学分析》 第四版

华东师范大学数学系 著

高等教育出版社，2012年

第1章至第14章，第16章至18章，第20章至第22章

解析几何

《解析几何》 第四版

吕林根 许子道著

高等教育出版社

2014年

第1章至第5章

大纲要求：

1. 《高等代数》，理解并掌握加减消元法与二、三阶行列式 ；理解并掌握 元排列；理解 阶行列式；熟练掌握阶行列式的性质；掌握行列式的降阶；理解拉普拉斯定理；掌握行列式的应用——克莱姆法则.熟练掌握方程组解的算法——高斯消元法 ；熟练掌握矩阵的运算；理解矩阵的分块与标准型；熟练掌握矩阵的秩；熟练掌握矩阵的可逆性及计算逆矩阵.理解整数的标准分解式；理解多项式的概念；掌握多项式的带余除法与整除性；掌握多项式的最大公因式；掌握多项式的互素；理解多项式的标准分解式；理解多项式的重因式；理解多项式函数与多项式的根；理解实数域上和复数域上的多项式；掌握有理数域上的多想式。理解向量与运算；熟练掌握向量组相关性；理解向量组的等价；理解维向量空间 ；熟练掌握齐次线性方程组解的结构；熟练掌握非齐次线性方程组解的结构.理解集合与映射的相关知识；掌握线性空间的定义与简单性质；熟练掌握线性空间的维数、基与坐标；熟练掌握线性空间的基变换与坐标变换；熟练掌握线性空间中的线性子空间；掌握线性空间的子空间的交与和；熟练掌握线性空间中的子空间的直和；了解线性空间的同构.理解线性变换的概念与性质;理解线性变换的运算与性质;熟练掌握线性变换的矩阵及其性质;熟练掌握线性变换的特征根与特征向量;熟练掌握线线性变换的化简与矩阵的对角化;掌握线性变换的值域与核.理解欧几里得空间的概念；掌握欧氏空间的正交基；了解欧氏空间的同构与正交子空间；熟练掌握欧氏空间的正交变换；熟练掌握欧氏空间的对称变换与对称矩阵；理解二次型的概念及其矩阵表示；熟练掌握二次型的标准形及其求法；掌握二次型的唯一性和规范性；熟练掌握正定二次型及其性质.

2. 《数学分析》，掌握邻域，上、下确界，确界原理；熟练掌握函数复合、基本初等函数、初等函数. 掌握极限概念；掌握收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；掌握数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则.掌握函数极限的概念，单侧极限的概念；掌握函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；熟练掌握两个重要极限；掌握无穷小量与无穷大量，阶的比较. 掌握函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；掌握连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；掌握初等函数的连续性.掌握导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；熟练掌握求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；掌握微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；熟练掌握高阶导数与高阶微分.掌握中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；掌握泰勒公式.了解区间套、覆盖、有限覆盖概念。闭区间上连续函数性质的证明.掌握不定积分概念；熟练掌握换元积分法与分部积分法；掌握几类可化为有理函数的积分. 掌握定积分的概念、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；了解可积性条件：可积的必要条件和充要条件，，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数；熟练掌握微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；掌握非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法. 熟练掌握定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；掌握定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力；掌握两类反常积分的概念、性质；熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质及定理判断积分的敛散性；了解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法；理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与级数;了解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法；掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛； 了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式； 理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质； 理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值；了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法；

掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系；了解二重积分，三重积分定义与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；

掌握二重积分的换序，变量代换；了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分；重积分应用：求曲面面积，转动惯量，重心坐标等；掌握两类曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲面积分的关系会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识，梯度，散度，旋度.

3.《解析几何》熟练掌握向量及其线性运算；熟练掌握向量的数量积，向量积与混合积；掌握向量代数在初等几何中的应用；掌握平面曲线的方程和空间曲面与曲线的方程；熟练掌握掌握球面，圆柱面的方程；熟练掌握平面的方程；熟练掌握点到平面的距离；熟练掌握平面间的相关位置；掌握直线的方程、直线、平面之间的相关位置，平面束；熟练掌握柱面，锥面，旋转曲面；熟练掌握椭球面，双曲面，抛物面；掌握二次曲线与直线的相关位置；掌握二次曲线的渐近方向，中心，渐近线，切线和直径.

专业（二）

课程名

参考教材

涉及章节

概率论与数理统计

《概率论与数理统计》盛骤编，高等教育出版社

教材第一到五章

常微分方程

《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室，高等教育出版社

教材第一到五章

大纲要求：

《概率论与数理统计》：

1、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率；掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

2、理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数F（x）＝P{X≤x}的概念及性质；会计算与随机变量有关的事件的概率。理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0一1分布、二项分布、超JLnn分布、泊松（POison）分布及其应用。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、指数分布正态分布及其应用。理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本形式：离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率。理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义。掌握根据自变量的概率分布求其较简单函数的概率分布的基本方法；会求两个随机变量之和的概率分布；了解产生χ2变量、，变量和F变量的典型模式；理解标准正态分布：χ2分布、T分布和F分布的分位数，会查相应的数值表。

3、理解随机变量数字特征（期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。会根据随机变量1的概率分布求其函数的数学期望Eg（X）；会根据随机变量调和Y的联合概率分布求其函数g（x，Y）的数学期望Eg（x，y）。掌握切比雪夫不等式。

4、了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定律成立的条件及结论，理解其直观意义。掌握泊松定理的结论和应用条件，并会用泊松分布近似计算二项分布的概率。掌握椽莫弗一拉普拉斯中心极限定理、列维一林德怕格中心极限定理的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

5、理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值与样本方差的概念。

《常微分方程》：

1、掌握一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法；会建立一阶微分方程并能求解。

2、理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题，熟练近似解的误差估计式，了解解对初值的连续性及可微性。

3、理解线性微分方程组解的性质与结构，通解基本定理，能够熟练求解常系数线性微分方程组。

4、理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程，掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法。

5、掌握平面自治系统的奇点分类。

学院

意见

专业负责人签字：

     年  月  日

教学副院长意见：

年  月  日

学院院长意见（盖章）：  

年  月  日