2019年江西专升本九江学院《高等数学Ⅰ》考试大纲

2019年《高等数学Ⅰ》考试大纲

第一部分：总要求

考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

第二部分：考试内容

一、 函数、极限与连续

（一）函数

 1．知识范围

（1）函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数。

（2）函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。

（3）反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）函数的四则运算与复合运算。

（5）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

（6）初等函数。

2. 要求

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。了解分段函数的概念。

（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ^-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算。

（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系。

（二）极限

 1．知识范围

（1）数列极限的概念：数列，数列的极限。

（2）数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列的极限存在定理。

（3）函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）两个重要极限。

 2．要求

（1）了解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）熟练掌握用极限的四则运算法则求极限的方法，理解极限的有关性质。 

（3）了解无穷小量、无穷大量的概念，了解无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。了解无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续

1．知识范围

（1）函数连续的概念：函数在一点连续的定义，函数的间断点。

（2）函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

（3）闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理）。

2．要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

（2）会求函数的间断点（含分段函数）。

（3）理解闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理（包括零点定理）推证一些简单命题。

（4）了解连续函数的性质及初等函数在其定义区间上的连续性。会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

1．知识范围

（1）导数概念：导数的定义、导数的几何意义、可导与连续的关系。

（2）求导法则与导数的基本公式：导数的四则运算、基本初等函数的导数公式。

（3）求导方法：复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法。

（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义，高阶导数的计算。

（5）微分：微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性。

2．要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系。掌握用定义求函数在一点处导数的方法。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数求导法则。会求反函数的导数。

（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（6）理解函数的微分概念，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）微分中值定理及导数的应用

1．知识范围

（1）中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。

（2）洛必达（L’Hospital）法则。

（3）函数增减性的判定法。

（4）函数极值与极值点，最大值与最小值。

（5）曲线的凹凸性、拐点。

（6）曲线的渐近线。

（7）曲率。

（8）简单的函数图形。

2．要求

（1）理解解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义，会用拉格朗日中值定理证明某些简单的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。

（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1^∞”、“0⁰”和“∞⁰”型未定式的极限方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。

（5）会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（6）会求曲线的渐近线。

（7）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

（8）会作出简单的函数图形。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

1．知识范围

（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义，原函数存在定理，不定积分的性质。

（2）基本初等函数的积分公式。

（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法），第二换元法。

（4）分部积分法。

（5）一些简单有理函数的积分。

2．要求

（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。

（2）掌握基本初等函数的不定积分公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。

（5）会求简单有理函数的不定积分。

（二）定积分

1．知识范围

（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义。

（2）定积分的性质。

（3）定积分的计算：变上限的定积分，牛顿一莱布尼茨（Newton - Leibniz）公式，换元积分法，分部积分法。

（4）广义积分的概念。

（5）定积分在几何上的应用：平面图形的面积、旋转体的体积、已知平行截面面积的立方体体积，平面曲线的弧长。

2．要求

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。

（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分的含义，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解广义积分，根据定义会求一些简单的广义积分。

（7）理解用元素法将实际问题表达成定积分的分析方法。

（8）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积的计算方法，会求简单的已知平行截面面积的立方体体积，会求平面曲线的弧长。

四、多元函数微积分学

（一）多元函数微分学

1．知识范围

（1）空间直角坐标系。

（2）多元函数。

多元函数的定义、二元函数的几何意义、二元函数极限与连续的概念。

（3）偏导数与全微分

偏导数、全微分、二阶偏导数

（4）复合函数的偏导数

（5）隐函数的偏导数

（6）二元函数的无条件极值与条件极值

 2．要求

（1）了解空间直角坐标系的概念，会求空间两点间的距离。

（2）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义、会求二元函数的表达式与定义域。了解二元函数的极限与连续的概念。

（3）理解偏导数的概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

（4）掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。

（5）掌握复合函数一、二阶偏导数的求法。

（6）会求多元函数的全微分。

（7）掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。

（8）会求多元函数的无条件极值，会用拉格朗日数乘法求多元函数的条件极值。

（二）二重积分

1．知识范围

（1）二重积分的概念

二重积分的定义、二重积分的几何意义

（2）二重积分的性质

（3）二重积分的计算

（4）二重积分的应用

2．要求

（1）了解二重积分的概念与基本性质，理解二重积分的几何意义。

（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），能够根据积分域和被积函数的特点选择坐标系和积分次序，能正确地定出二次积分的积分限。

（3）会用二重积分解决简单的积分问题。

五、无穷级数

（一）数项级数

1．知识范围

（1）数项级数

数项级数的概念、级数的收敛与发散、级数的基本性质、级数收敛的必要条件

（2）正项级数收敛性的判别法

比较判别法、比值判别法、

（3）任意项级数

交错级数、绝对收敛、条件收敛、莱布尼茨判别法

2．要求

（1）理解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。

（2）掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数和P——级数的收敛性，掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，了解级数的根式判别法。

（3）掌握交错级数的莱布尼茨判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及它们之间的关系。

（二）幂级数

1．知识范围

（1）幂级数的概念

    收敛半径、收敛区间

（2）幂级数的基本性质

（3）将简单的初等函数展开成幂级数

2．要求

（1）了解幂级数的概念。

（2）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的求法。

（3）了解幂级数的基本性质（和函数的连续性，逐项微分和逐项积分）。

（4）掌握几个常用初等函数的麦克劳林展开式，并会利用这些展开式将一些简单函数间接展开成幂函数。

六、常微分方程

一阶微分方程

1.知识范围

（1）微分方程的概念

微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件和特解

（2）可分离变量的微分方程

（3）一阶线性微分方程

2.要求

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解

（2）掌握可分离变量的微分方程的解法。

（3）掌握一阶线性微分方程解法。

第三部分：参考教材

1. 《高等数学》（上、下册）（第四、五、六、七版）同济大学数学教研室编，高等教育出版社

2. 《微积分》  马军  许成锋  主编，北京理工大学出版社