萍乡学院专升本考试《数学分析》考试大纲2021

　　2021年萍乡学院专升本数学与应用数学专业的考生可以通过《数学分析》考纲的要求及内容，找到正确的备考思路,熟悉考试与命题的方向，从而更好地应对即将到来的专升本考试。 

　　一、课程名称：数学分析

　　二、适应专业：数学与应用数学

　　三、考试方式：闭卷

　　四、考试时间：120分钟

　　五、考试题型及分数：

　　1.选择题：共6小题，每题5分，共计30分；

　　2.选择题：共6小题，每题5分，共计30分；

　　3.计算题：共5小题，每题10分，共计50分；

　　4.证明题：共2小题，每题15分，共计30分；

　　六、指定教材与建议参考书：

　　指定教材：《新编数学分析》（上下册），林元重编著，武汉大学出版社，2015.3；

　　建议参考书：《数学分析（第五版）》（上下册），华东师范大学数学数学科学学院编，高等教育出版社，2019.5；

　　《数学分析讲义（第六版）》（上下册），刘玉莲、傅沛仁、刘伟、林玎主编，高等教育出版社，2019.4.

　　七、考试内容及分数分布

　　第一章极限论（约15%）

　　1.1引言

　　考核内容：1.数学分析是什么.

　　2.实数的基本性质和绝对值的不等式，区间与邻域，集合的上下界.

　　3.函数的定义与表示法，复合函数与反函数，初等函数．

　　4.函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

　　考核要求：1.了解数学分析是什么.

　　2.掌握实数的性质（有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算），掌握实数的基本概念和最常见的不等式.

　　3.掌握函数概念和函数的不同的表示方法．

　　4.掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

　　1.2数列极限概念

　　考核内容：1.数列极限概念．

　　2.数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．

　　3.数列极限的夹逼准则和单调有界准则，数集的确界及确界原理，数列的子列及相关定理(包括致密性定理)，柯西收敛准则．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握数列极限概念，学会用数列极限的定义证明极限，学会证明数列极限的基本方法．

　　2.掌握数列极限的基本性质，掌握四则运算法则.

　　3.掌握夹逼准则，理解数集确界及确界原理，掌握单调有界准则，理解柯西收敛准则．

　　1.3函数极限概念及性质

　　考核内容：1.函数极限的定义、定义，左右极限.

　　2.函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．

　　考核要求：1.正确理解和掌握函数极限的定义、定义，掌握极限与左右极限的关系，能够用定义证明和计算函数的极限．

　　2.理解并掌握函数极限的基本性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则），会用这些性质计算函数的极限．

　　1.4函数极限存在的准则与两个重要极限

　　考核内容：1.函数极限的归结，函数极限的单调有界定理，函数极限的柯西准则．

　　2.两个重要极限.

　　考核要求：1.理解并掌握函数极限的归结原则，了解函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．能够写出函数极限的归结原理和柯西准则．

　　2.熟练掌握两个重要极限.

　　1.5无穷小量与无穷大量

　　考核内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小，无穷大．

　　考核要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

　　1.6连续性概念

　　考核内容：1.函数连续，函数左右连续，区间上函数连续的概念.

　　2.间断点及其分类.

　　考核要求：深刻理解并掌握函数连续性概念．

　　1.7连续函数的局部性质与初等函数的连续性

　　考核内容：1.连续函数的局部有界性，局部保号性，四则运算.

　　2.复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性.

　　考核要求：掌握连续函数的局部性质和和初等函数的连续性．

　　1.8闭区间上连续函数的性质

　　考核内容：1.连续函数的最大最小值定理，介值性定理.

　　2.一致连续性概念，一致连续性定理．

　　考核要求：1.理解闭区间上连续函数的最大最小值定理，介值性定理.

　　2.理解并掌握一致连续性概念，理解一致连续性定理．

　　1.9实数的连续性与上(下)极限

　　考核内容：1.区间套定理、聚点定理，上（下）极限及其性质.

　　2.有限覆盖定理，几个基本定理的等价性.

　　考核要求：1.理解区间套定理、聚点定理，了解上（下）极限及其性质.

　　2.理解有限覆盖定理，了解几个基本定理的等价性.

　　第二章一元函数微分学（约20%）

　　2.1导数的概念

　　考核内容：1.变化率——导数，单侧导数，导函数，几个基本导数公式，几何意义．

　　2.增量——微分公式，可导与连续的关系.

　　考核要求：1.理解并掌握导数的定义，掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义.

　　2.了解增量——微分公式，掌握可导与连续的关系.了解费马定理、达布定理．

　　2.2导数的运算法则

　　考核内容：1导数的四则运算法则，反函数的求导法则.

　　2.复合函数的求导法则，对数求导法，基本导数公式．

　　考核要求：1.熟练掌握导数的四则运算法则，理解反函数的求导法则.

　　2.熟练掌握复合函数的求导法则及基本导数公式．

　　3.知道求分段函数在分段点处的导数.

　　2.3参变量函数和隐函数的导数

　　考核内容：参变量函数的求导法则，隐函数的求导法，相关变化率．

　　考核要求：掌握参变量函数的求导法则，知道求隐函数的导数，会运用求导法则求相关变化率．

　　2.4微分

　　考核内容：1.微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用．

　　2.利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

　　考核要求：1.深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的运算方法，了解微分在近似计算中的应用．

　　2.理解微分与导数的关系，会利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.

　　2.5高阶导数与高阶微分

　　考核内容：1.高阶导数及其计算，高阶导数的莱布尼茨公式．

　　2.高阶微分及其计算.

　　考核要求：1.掌握高阶导数的概念和计算，掌握高阶导数的莱布尼茨公式．

　　2.了解高阶微分及其计算，知道高阶导数与高阶微分的关系.

　　2.6拉格朗日定理和函数的单调性、极值

　　考核内容：1.极值概念与费马定理.

　　2.罗尔定理，拉格朗日中值定理，应用中值定理证明不等式和中值公式举例，达布定理，导数极限定理．

　　3.函数的单调性与极值，函数的最值，最值应用题举例.

　　考核要求：1.掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件、结论及证明方法，会应用中值定理证明一些不等式和一些中值公式，了解达布定理和导数极限定理.

　　2.掌握求函数的单调区间和极值及最值的一般方法.

　　2.7柯西中值定理和不定式极限

　　考核内容：柯西中值定理及其简单应用举例，洛必达法则，不定式极限计算举例．

　　考核要求：掌握柯西中值定理，掌握罗比达法则，会求各种形式的不定式极限.

　　2.8泰勒公式

　　考核内容：1.带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，几个基本初等函数的麦克劳林公式．

　　2.泰勒公式应用举例（不定式极限，高阶导数，函数极值，近似计算）.

　　考核要求：理解带两种余项形式的泰勒公式，掌握基本初等函数的麦克劳林公式(熟记六个)，会利用它们求不定式极限，了解泰勒公式在求高阶导数、函数极值以及近似计算方面的应用.

　　2.9其它应用

　　考核内容：函数的凸性与拐点，凸性的判定，渐近线，函数作图，方程的近似解.

　　考核要求：1.掌握函数凸性与拐点的概念，会求函数凹凸区间与拐点，了解函数凸性在证明不等式方面的应用.

　　2.会求曲线的渐近线，了解函数作图的一般步骤，会描绘函数的图像.

　　3.了解求方程近似解的牛顿切线法．

　　第三章一元函数积分学（约20%）

　　3.1不定积分的概念与线性运算

　　考核内容：原函数与不定积分的概念，基本积分公式与线性运算法则，不定积分的几何意义．

　　考核要求：理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握基本积分公式及不定积分的线性运算法则，了解不定积分的几何意义，了解连续分段函数的原函数的求法.

　　3.2换元积分法与分部积分法

　　考核内容：第一、二换元积分法，分部积分法．

　　考核要求：理解并熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．

　　3.3有理函数和三角函数有理式的不定积分

　　考核内容：有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，两类无理函数的不定积分．

　　考核要求：掌握有理函数不定积分的计算方法，会计算一些三角函数有理式的不定积分，会计算一些简单无理函数的不定积分，了解欧拉变换法．

　　3.4定积分的概念与牛顿——莱布尼茨公式

　　考核内容：定积分的几何背景和物理背景，定积分的定义(极限形式的定义和定义)，牛顿——莱布尼茨公式．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握定积分的概念，知道定积分概念的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．

　　2.熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，会利用牛顿——莱布尼茨公式计算一些特殊的和式极限．

　　3.5可积函数类与定积分的性质

　　考核内容：1.可积的必要条件，上(下)和与上(下)积分，可积的充要条件(可积准则),可积函数类.

　　2.定积分的基本性质，积分第一中值定理．

　　考核要求：1.理解函数可积的必要条件，函数可积的充要条件(可积准则)，掌握三类可积函数，对这些定理的证明及其证明思路只要求读懂，不作其它较高要求.

　　2.理解并掌握定积分的若干基本性质，能证明一些简单的积分不等式.

　　3.6微积分学基本定理、定积分的计算(续)

　　考核内容：变上(下)限的定积分，微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，积分第二中值定理，泰勒公式的积分型余项，定积分近似计算．

　　考核要求：1.掌握微积分学基本定理，会求变上(下)限的定积分的导数．

　　2.熟练掌握换元积分法与分部积分法.

　　3.理解积分第二中值定理，理解泰勒公式的积分型余项，了解定积分近似计算．

　　3.7(3.8)定积分的应用

　　考核内容：1.微元法概述.

　　2.平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面面积．

　　3.功，液体静压力，引力．

　　考核要求：1.领会微元法的要领，掌握平面图形面积、由平行截面面积求体积、平面曲线弧长的计算公式，了解曲线的曲率，旋转曲面的面积．

　　2.领会定积分在物理应用方面的基本方法．

　　3.9无穷积分与瑕积分

　　考核内容：1.无穷积分与瑕积分的定义和计算.

　　2.无穷积分的基本性质，比较判别法(包括极限形式及特殊形式)，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．

　　3.瑕积分的收敛性判别法．

　　考核要求：1.掌握无穷积分与瑕积分的定义和计算.

　　2.理解无穷积分的基本性质，掌握非负函数无穷积分的收敛性判别的比较判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的概念，理解狄利克雷判别法和阿贝尔判别法(不作其它较高要求)．

　　3.了解瑕积分与无穷积分的关系，了解瑕积分的收敛性判别法．

　　第四章级数论（约15%）

　　4.1数项级数的基本概念及性质

　　考核内容：数项级收敛与发散的定义和基本性质，等比级数，调和级数，柯西准则．

　　考核要求：1.理解数项级数收敛与发散的定义，掌握收敛级数的基本性质，能够根据定义或性质判别一些简单简单级数的敛散性.

　　2.掌握等比级数与调和级数.

　　3.理解级数收敛的柯西准则，对应用柯西准则判别级数的敛散性不作较高要求.

　　4.2正项级数

　　考核内容：1.比较判别法，比式判别法，根式判别法．

　　2.积分判别法，拉贝判别法．

　　考核要求：1.掌握判别正项级数敛散性的基本方法：比较判别法，比式判别法和根式判别.

　　2.了解积分判别法和拉贝判别法．

　　4.3变号级数

　　考核内容：1.交错级数及其莱布尼茨判别法，绝对收敛与条件收敛．

　　2.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.

　　3.绝对收敛级数的重排，绝对收敛级数的乘积.

　　考核要求：1.掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握绝对收敛与条件收敛概念.

　　2.理解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，对其应用一般不作较高要求．

　　3.理解绝对收敛级数的两条重要性质，对其应用不作较高要求．

　　4.4函数项级数及其一致收敛性

　　考核内容：1.函数列与函数项级数一致收敛性的定义，一致收敛的柯西准则.

　　2.一致收敛的另一充要条件，魏尔斯特拉斯判别法．

　　3.函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握函数列和函数项级数一致收敛性的定义，理解一致收敛的柯西准则.

　　2.掌握一致收敛的另一充要条件(即)，掌握判别函数项级数的魏尔斯特拉斯判别法即优级数判别法．

　　3.理解判别函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，对其应用不作较高要求．

　　4.5一致收敛函数序列与函数项级数的性质

　　考核内容：一致收敛函数列与函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．

　　考核要求：理解并掌握一致收敛函数列和函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．

　　4.6幂级数及其性质

　　考核内容：幂级数的收敛半径，收敛半径的计算公式，收敛区间和收敛域的概念．

　　考核要求：掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法，掌握幂级数的基本性质和运算法则．

　　4.7函数的幂级数展开

　　考核内容：泰勒级数，麦克劳林级数，五种基本初等函数的幂级数展开式，初等函数的幂级数展开（直接法和间接法）．

　　考核要求：掌握泰勒级数和麦克劳林级数，熟记一些初等函数的幂级数展开式，掌握初等函数的幂级数展开.

　　4.8傅里叶级数

　　考核内容：1.三角级数；正交函数系，傅里叶级数，收敛定理，傅里叶级数的展开式举例．

　　2.以为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开式，函数的奇延拓与偶延拓及正弦级数与余弦级数．

　　3.黎曼引理，收敛定理的证明，贝塞尔不等式，一致收敛性定理．

　　考核要求：1.理解三角级数和傅里叶级数定义，掌握傅里叶级数的收敛定理，能够按照收敛定理将比较简单的函数展开成傅里叶级数．

　　2.掌握以为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，掌握正弦级数，余弦级数．

　　3.了解收敛定理的证明，了解傅里叶级数的一致收敛性．

　　第五章多元函数微分学（约15%）

　　5.1多元函数与极限(6)

　　考核内容：1.二元函数及多元函数,平面中的邻域，开域，闭域.

　　2.二元函数重极限定义，二元函数极限存在的充要条件，方向极限与累次极限.

　　考核要求：1.理解二元及多元函数的定义．了解平面中邻域，开域，闭域的定义.

　　2.理解二元函数重极限的定义，知道二元函数极限存在的充要条件，了解方向极限与累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系．

　　5.2二元函数的连续性

　　考核内容：1.二元函数的连续性的定义，二元初等函数的连续性.

　　2.中的聚点定理，致密性定理，闭区域套定理，有限覆盖定理.

　　3.有界闭域上连续函数的最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．

　　考核要求：1.理解二元函数的连续性的定义，知道二元初等函数的连续性.

　　2.了解有关二维空间上的完备性定理，知道有界闭区域上连续函数的整体性质．

　　5.3偏导数与全微分

　　考核内容：1.多元函数偏导数与高阶偏导数，偏导数的几何意义，混合偏导数与求导顺序无关的条件.

　　2.二元函数可微和全微分的定义，微分法则，可微的必要条件，可微的充分条件，高阶全微分及其运算．

　　考核要求：1.理解并掌握多元函数偏导数的定义，知道偏导数的几何意义，能够熟练的求出初等函数的偏导数和高阶偏导数，能够求二元函数在一些特殊的导数，知道混合偏导数与求导顺序无关的条件.

　　2.理解并掌握二元函数可微和全微分的定义，掌握微分法则，掌握可微的必要条件，理解可微的充分条件，了解高阶全微分及其运算．

　　5.4复合函数微分法与方向导数

　　考核内容：复合函数链式法则，复合函数的全微分，一阶全微分形式不变性，方向导数与梯度.

　　考核要求：理解并熟练掌握复合函数求导的链式法则，掌握方向导数与梯度的定义及其运算，了解二元函数的梯度的几何意义．

　　5.5多元函数的泰勒公式

　　考核内容：泰勒公式与中值定理，泰勒公式的计算与应用举例．

　　考核要求：理解并掌握多元函数的泰勒公式，了解泰勒公式的一个推论——中值定理．

　　5.6隐函数及其微分法

　　考核内容：1.隐函数存在性定理，隐函数可微性定理．

　　2.隐函数组及其可微性定理，反函数组定理．

　　考核要求：1.理解隐函数定理和可微性定理，掌握隐函数微分法．

　　2.了解隐函数组及其可微性定理，知道求隐函数组的偏导数.

　　5.7多元函数偏导数的几何应用

　　考核内容：1.空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程．

　　2.二元函数全微分的几何意义，、三元函数梯度的几何意义.

　　考核要求：1.理解空间曲线(两种表示形式)的切线方程的推导，掌握空间曲线的切线与法平面方程的求法，理解曲面(两种表示形式)的切平面方程的推导，掌握曲面的切平面与法线的求法．

　　2.了解二元函数全微分的几何意义，了解三元函数梯度的几何意义.

　　5.8多元函数的极值与条件极值

　　考核内容：1.二元函数的极值，必要条件与充分条件．

　　2.条件极值，拉格朗日乘数法，用条件极值的方法证明不等式．

　　考核要求：1.掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．

　　2.了解拉格朗日乘数法，会用拉格朗日乘数法求条件极值．

　　第六章多元函数积分学（约15%）

　　6.1二重积分

　　考核内容：1.二重积分的定义和性质，化二重积分为累次积分的计算公式．

　　2.二重积分的变量变换公式，用极坐标计算二重积分．

　　考核要求：1.了解平面点集的面积定义及其性质，理解二重积分的定义和性质，理解有界闭区域上的连续函数可积的结论，理解并熟练掌握化二重积分为累次积分的计算公式．

　　2.理解二重积分变量变换公式的证明，掌握用极坐标计算二重积分．

　　6.2三重积分

　　考核内容：1.三重积分的定义，化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

　　2.三重积分变量变换公式，柱坐标变换公式，球坐标变换公式．

　　考核要求：1.掌握三重积分的定义，了解三重积分的性质，熟练掌握化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).

　　2.了解三重积分变量变换公式，掌握用球坐标和柱坐标计算三重积分．

　　6.3 n重积分和广义重积分

　　考核内容：n重积分的定义，计算公式，广义二重积分的性质，收敛性判别．

　　考核要求：了解n重积分和广义二重积分的概念和性质，了解广义二重积分的收敛性判别．

　　6.4重积分的应用

　　考核内容：平面区域的面积，立体的体积，曲面的面积，物体重心，转动惯量，引力．

　　考核要求：掌握用重积分计算计算面积和体积，掌握曲面面积的计算公式，了解物体的重心，转动惯量与引力及其计算公式．

　　6.5第一型曲线积分

　　考核内容：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

　　考核要求：理解并掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

　　6.6第二型曲线积分

　　考核内容：1.第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.

　　2.两类曲线积分之间的联系.

　　考核要求：1.理解并掌握第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.

　　2.了解两类曲线积分之间的联系.

　　6.7格林公式

　　考核内容：格林公式，曲线积分与路线无关的条件．

　　考核要求：理解并掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件．

　　6.8第一型曲面积分

　　考核内容：第一型曲面积分的定义和计算公式．

　　考核要求：理解并掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．

　　6.9第二型曲面积分

　　考核内容：有向曲面的概念，第二型曲面积分的定义、性质，两类曲面积分的联系，第二型曲面积分的计算公式．

　　考核要求：理解并掌握第二型曲面积分的定义、性质，了解两类曲面积分的联系，掌握第二型曲面积分的计算公式．

　　6.10高斯公式与斯托克斯公式

　　考核内容：高斯公式，斯托克斯公式，沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

　　考核要求：理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．

　　6.11含参变量的积分

　　考核内容：1.含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，定理的应用.

　　2.含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，一致收敛性判别法．

　　3.连续性，可微性与可积性定理，定理的应用.

　　4.函数与函数的定义、性质及其联系，余元公式．

　　考核要求：1.理解并掌握含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握计算含参变量的定积分基本方法.

　　2.了解含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，了解一致收敛性判别法（魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．

　　3.了解含参变量的广义积分的连续性，可微性与可积性定理，了解含参变量的定积分基本方法.

　　4.了解函数与函数的定义、性质及其联系．

　　上述为2021年萍乡学院专升本数学与应用数学专业考试大纲的全部内容，日常的备考中，考生要去认真落实，在最后的冲刺备考阶段也可以依据考试大纲进行自我检测，找出自己没有完全掌握的知识点，及时巩固，提升复习效果。