南昌大学科学技术学院2020年专升本《高等数学》考试大纲

一、适用专业

本大纲适用于理工科类各专业。

二、总体要求

本大纲规定了我院专升本考试对《高等数学》的总体要求，考生应按本大纲的要求， 了解或理解“高等数学”中的函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念和基本理论，学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识的结构及知识的内在联系，应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力， 能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算，能综合运用所学知识分析并解决简单的实际应用问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

三、考试内容

（一） 函数、极限和连续

1.函数

（1） 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段函数的定义域、函数值；掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性；会判断所给函数的类别。

（2）了解函数与其反函数之间的关系（ 定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（3）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

（4） 掌握基本初等函数的简单性质及其图象；了解初等函数的概念；会建立简单实际问题的函数关系式。

2.极限

（1） 理解极限的概念；能根据极限概念分析函数的变化趋势；会求函数在一点处的左极限与右极限；了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2） 了解极限的有关性质；掌握极限的四则运算法则。

（3） 理解无穷小量、无穷大量的概念；掌握无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系；会进行无穷小量阶的比较；会运用等价无穷小量代换求极限。

（4） 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

3.连续

（1） 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数） 在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

（2） 会求函数的间断点及确定其类型。

（3） 掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。

（4） 理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

（二） 一元函数微分学

1.导数与微分

（1） 理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2） 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3） 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法， 会求反函数的导数。

（4） 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。

（5） 理解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数。

（6） 理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

2.中值定理及导数的应用

（1） 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义；会用罗尔定理证明方程根的存在性；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

（2） 熟练掌握利用洛必达法则求各种未定式极限的方法。

（3） 掌握利用导数判定函数的单调性，掌握函数的单调区间的求解方法， 会利用函数的单调性证明简单的不等式。

（4） 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并且会解简单的应用问题。

（5） 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（6） 会求曲线的斜渐近线、水平渐近线和垂直渐近线。

（三） 一元函数积分学

1.不定积分

（1） 理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

（2） 熟练掌握不定积分的基本积分公式。

（3） 熟练掌握不定积分第一类换元积分法，掌握第二类换元换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4） 熟练掌握不定积分的分部积分法。

（5） 会求简单有理函数的不定积分。

2.定积分

（1） 理解定积分的概念与几何意义；掌握定积分的基本性质。

（2） 理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法。

（3） 掌握牛顿— 莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（4） 理解无限区间和无界函数的广义积分的概念，掌握其计算方法。

（5） 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积；会用定积分求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积，会用定积分求平面曲线的弧长。

（四） 空间解析几何与向量代数

1.向量代数

（1） 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法；会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

（2） 掌握向量的线性运算、向量的数量积（点积） 与向量积（叉积） 的计算方法。

（3） 掌握两个向量平行、垂直的条件。

2.平面与直线

（1） 会求平面的点法式方程、一般式方程；会判定两平面的垂直、平行。

（2） 会求点到平面的距离。

（3） 了解直线的一般式方程，会求直线的点向式方程、参数式方程；会判定两直线平行、垂直。

（4） 会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。

3.简单的二次曲面

了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

（五） 多元函数微积分

1.多元函数微分学

（1） 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念；会求二元函数的定义域。

（2） 理解偏导数概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

（3） 掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法；掌握多元复合函数偏导数的计算方法。

（4） 会求二元函数的全微分。

（5） 掌握二元函数隐函数的偏导数计算方法。

（6） 会求二元函数的无条件极值和条件极值。

2.重积分

（1） 理解二重积分的概念及其性质。

（2） 掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

（六） 无穷级数

1.常数项级数

（1） 理解级数收敛、发散的概念；掌握级数收敛的必要条件；了解级数的基本性质。

（2） 掌握正项级数的比较、比值和根值判别准则，掌握交错级数敛散性判定方法，会使用莱布尼茨准则。

（3） 掌握等比级数（几何级数）、调和级数及 P 级数的敛散性。

（4） 掌握级数绝对收敛与条件收敛的判定。

2.幂级数

（1）了解幂级数的概念。

（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（ 和、差、逐项求导与逐项积分） 。

（3） 掌握幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数的计算方法。

（七） 常微分方程

1.一阶微分方程

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

（2） 掌握可分离变量微分方程的解法，掌握齐次微分方程的解法， 掌握一阶线性微分方程的解法。

2.二阶微分方程

（1） 了解可降阶的二阶微分方程，了解二阶线性微分方程解的结构。

（2） 掌握可降阶的二阶微分方程的解法。

（3） 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

四、考试形式

试卷总分：150 分考试时间：120 分钟

考试方式：闭卷，笔试

五、试卷结构

1.试卷内容比例

2.试卷题型比例

3.试题难易比例

六、参考教材

《高等数学（第六版）》（ 上、下册） 同济大学数学系编著， 高等教育出版社。

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